گراف غیر جابه جایی p-گروه ها

روش های زیادی برای نسبت دادن یک گراف به یک گروه وجود دارد. ما گراف زیر را به گروه g نسبت می دهیم.فرض کنیم ‎g‎ گروهی غیر آبلی و ‎z(g) ‎ مرکز آن باشد. گراف غیر جابه جایی گروه ‎g‎ را با ‎?_g‎ نمایش داده و به صورت زیر تعریف می کنیم: (g(g را مجموعه ی رئوس گراف ‎ ?_g ‎ در نظر می گیریم و دو راس ‎x‎ و ‎ y را زمانی به یکدیگر وصل می کنیم که ‎ xy? yx‎. ما نشان می دهیم اگر ‎ ? _p و ? _h‎ یکریخت باشند، آن گاه ‎ |p|=|h|‎ که در آن p‎ یک ‎p-گروه متناهی و غیر آبلی و ‎h‎ گروهی دلخواه است. برای اثبات این موضوع از خواص p-گروه ها و مفاهیم مقدماتی نظریه اعداد کمک می گیریم. هم چنین گراف g^~ ‎غیر جابه جایی برای گروه ‎g‎ مفهوم جدیدی است که آن را با نماد ?~^g_g نشان داده و به صورت زیر معرفی می کنیم: مجموعه رئوس آن را (g(g در نظر می گیریم و دو راس ‎x‎ و ‎y‎ را به یکدیگر وصل می کنیم هرگاه ‎ [x,y ]? g‎ ‎,g^{-1}.‎ ما در مورد همبندی این گراف بحث می کنیم و در انتها قضیه ی زیر را ثابت می کنیم قضیه. اگر برای گروه متناهی و غیر آبلی ‎g‎ و گروه h گراف های‎‎، ?~^g_g و ?~^h _h با یکدیگر یکریخت باشندآن گاه ‎|g|=|h|‎.هم چنین نشان می دهیم طی یکریختی این دو گراف بعضی خواص جبری g به h منتقل می شود.